1799年高斯提出了他的博士论文，这论文证明了代数一个重要的定理： 任一多项式都有（复数）根。这结果称为「代数学基本定理」（Fundamental Theorem of Algebra） 。

事实上在高斯之前有许多数学家认为已给出了这个结果的证明 ，可是没有一个证明是严密的
。高斯把前人证明的缺失一一指出来
，然后提出自己的见解，他一生中一共给出了四个不同的证明。

在1801年 ，高斯二十四岁时出版了《算学研究》（Disquesitiones Arithmeticae）
，这本书以拉丁文写成，原来有八章 ，由于钱不够
，只好印七章 。 这本书除了第七章介绍代数基本定理外，其余都是数论 ，可以说是数论第一本有系统的着作，高斯第一次介绍「同余」（Congruent）的概念。

「二次互逆定理」也在其中
。 二十四岁开始
，高斯放弃在纯数学的研究，作了几年天文学的研究。

当时的天文界正在为火星和木星间庞大的间隙烦恼不已 ，认为火星和木星间应该还有行星未被发现 。在1801年
，意大利的天文学家Piazzi，发现在火星和木星间有一颗新星
。

它被命名为「谷神星」（Cere）。现在我们知道它是火星和木星的小行星带中的一个 ，但当时天文学界争论不休
，有人说这是行星，有人说这是彗星 。

必须继续观察才能判决 ，但是Piazzi只能观察到它9度的轨道
，再来，它便隐身到太阳后面去了
。因此无法知道它的轨道 ，也无法判定它是行星或彗星。

高斯这时对这个问是产生兴趣
，他决定解决这个捉摸不到的星体轨迹的问题 。高斯自己独创了只要三次观察，就可以来计算星球轨道的方法
。

他可以极准确地预测行星的位置。果然 ，谷神星准确无误的在高斯预测的地方出现 。

这个方法--虽然他当时没有公布--就是「最小平方法」 （Method of Least Sq